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用户输入：请使用 Python 编写一个高效的狄拉克梳（Dirac Comb）离散傅里叶变换，并阐明为何时间连续采样会发生频谱混叠？

DeepSeek-R1 深度思考过程 (耗时 2.8 秒)

1. 分析狄拉克梳函数 \(\text{III}_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)\) 的时域定义与频域对应关系。
2. 根据泊松求和公式，周期冲激串的傅里叶变换在频域仍然是冲激串，周期为 \(1/T\)。
3. 在离散采样中，若信号带宽超过奈奎斯特频率 \(f_s/2\)，频域上的周期冲激串会导致频谱周期延拓发生重叠，即产生频谱混叠（Aliasing）。
4. 给出具有极佳向量化效率的 NumPy 实现与测试代码。

核心原理解析：
离散采样的数学本质是连续信号与狄拉克梳函数相乘：\(x_s(t) = x(t) \cdot \text{III}_T(t)\)。
根据卷积定理，时域相乘对应频域卷积：\(X_s(f) = X(f) * \mathcal{F}\{\text{III}_T(t)\} = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f - k f_s)\)。
当连续信号的高频分量大于 \(f_s / 2\) 时，相邻频谱副本必然发生不可逆的相互重合，造成信号畸变失真。

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